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[測量] 誤差伝播の法則

関数が一次式の場合

Yが確率変数X1,X2,・・・・,Xnの一次式で表せるとすると、 Y = a + b1X1 + b2X2+ ・・・+Xn と書ける。

Yの平均をμy、Xiの平均をμiとすると μy = a + b1μ1 + b2μ2 + ・・・ + bnμn となる。

Yの分散をσy^2、Xiの分散をσi^2、XiとXjの共分散をσijとすると
\sigma _{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+2\sum_{i\neq j}^{} b_{i}b_{j}\sigma _{ij}

X1, X2, ・・・ Xnが互いに独立であるときはσijが0なので、
\sigma _{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}

となる。この関係式を誤差伝搬の法則と呼ぶ。

練習問題

測量学 問題 6-1から
測角の標準誤差を20''とした場合、4角形および8角形の閉合トラバースで、内角の合計の誤差の大きさはいくらか。

回答
Y = X1 + X2 +・・・Xn、各Xの標準誤差σi=σ(一定)とし、誤差伝搬の法則をつかう。
\sigma _{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n} (\frac{\partial Y}{\partial X})^{2}\sigma _{i}^{2}=n\sigma ^{2}

4角形の場合 20''√4=40''
8角形の場合 20''√8=57''