ぱたへね

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条件付観測における最小二乗法

測量

最小二乗法と測量網平均の基礎　演習問題$１ 1から。

問題一直線上にならんだ点A、点B、点Cがあるとする。距離 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{AC}$ を観測したところ、次のようになった。

$$\overline{AB}:l_{1} = 19.074m$
$$\overline{BC}:l_{2} = 45.026m$
$$\overline{AC}:l_{3} = 64.115m$
各観測の重量は等しいとする。このとき、距離 $$\overline{AC}$ を最小二乗法により推定せよ。

答え
補正値を、 $$v_{1}$ 、 $$v_{2}$ 、 $$v_{3}$ とすると、求める長さの推定値を $$\hat{x}$ とすると

$$\hat{x} =l_{1}+v_{1}+l_{2}+v_{2}$
$$\hat{x} =l_{3}+v_{3}$
$$l_{1}+v_{1}+l_{2}+v_{2}=l_{3}+v_{3}$

最小二乗法より、 $$\phi =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$ が最小になる $$\hat{x}$ を求める。
$$\frac{\partial \phi }{\partial v_{1}}=2v_{1}+2(l_{1}+l_{2}-l_{3}+v_{1}+v_{2})=0$
$$\frac{\partial \phi }{\partial v_{2}}=2v_{2}+2(l_{1}+l_{2}-l_{3}+v_{1}+v_{2})=0$

極値条件から、 $$v_{1}$ 、 $$v_{2}$ を求める。
$$v_{1}=v_{2}=\frac{1}{3}(-l_{1}-l_{2}+l_{3})$

$$v_{1}$ 、 $$v_{2}$ より、推定値 $$\hat{x}$ が求められる。
$\hat{x} =l_{1}+v_{1}+l_{2}+v_{2}=l_{1}+l_{2}+2v_{1}=\frac{1}{3}(l_{1}+l_{2}+2l_{3})=\frac{1}{3}(19.074+45.026+2\ast 64.115)=64.110[m]$