確率長円を図で示す。

問題：

確率変数X,Yが二次元正規分布にしたがい、分散共分散行列が

$\Sigma _{xy}=\begin{pmatrix} \sigma _{x}^{2} & \sigma _{xy} \\ \sigma _{xy} & \sigma _{y}^{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 16.00 & 5.48 \\ 5.48 & 9.00 \end{pmatrix}$

であるとする。X,Yの平均値がそれぞれ、 $\mu _{x}=24.0$ 、 $\mu _{y}=12.0$ とするとき、95％確率楕円を図に示せ。

回答：

分散共分散行列を座標軸の変換を使う。

$\Sigma _{uv}=\begin{pmatrix} \sigma _{u}^{2} & 0 \\ 0 & \sigma _{v}^{2} \end{pmatrix}$ 　　　　( $\sigma _{u}^{2} &gt \sigma _{v}^{2}$ )

$\sigma _{u}^{2}=\frac{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sqrt{(\sigma _{x}^{2}-\sigma _{y}^{2})^{2}+4\sigma _{xy}^{2}}\, }{2}=\frac{16.00+9.00+\sqrt{(16.00-9.00)^{2}+4\times 5.48^{2}}\, }{2}=19.00$
$\sigma _{y}^{2}=\frac{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-\sqrt{(\sigma _{x}^{2}-\sigma _{y}^{2})^{2}+4\sigma _{xy}^{2}}\, }{2}=\frac{16.00+9.00+\sqrt{(16.00-9.00)^{2}-4\times 5.48^{2}}\, }{2}=6.00$