直交行列、回転行列と反転

写真から作る3次元CG 3.5から

直交行列

行列Mが を満たすとき、Mは直交行列である。
回転行列Rも を満たすので直交行列である。

確認作業

回転行列が直交行列であることを、手を動かして確認してみる。任意の回転は、3つの軸に対する回転の合成で表すことができるので、 と表せる。オイラー角やロール・ピッチ・ヨーによる表現もこの形になる。
これを に代入すると、

ある軸に対する回転行列の転置行列は、逆行列に一致し、逆回転を表す。これを利用すると、一番内側の は になる。同じ操作を2回繰り返し、 を得る。

反転行列

反転行列は、このように表現できる。

ここで、 は、反転する平面の法線方向を示す単位ベクトルである。

確認作業

こちらも手を動かして確認する。
平面z=0に対する反転の時、 なので、

なので、x座標とy座標はそのままに、z座標の符号だけを反転させている。