カメラの正規化 - ぱたへね

カメラモデル

カメラモデルを考える時の問題点

光学軸がどこにあるか不明
画像の両座標軸のスケールが異なる可能性がある
実際の画像の両座標軸は必ずしも直角をなさない

座標系(c,x,y)とデジタル画像座標系(o,u,v)を考える。

x軸をu軸に平行に設定する。
u軸とv軸のなす角度をθとする。
座標系(c,x,y)の単位長をku,kvとする。
座標系(o,u,v)における座標系(c,x,y)の原点を(u0,v0)とする。

座標系(o,u,v)の座標をmp = [u,v]^T, 座標系(c,x,y)の座標をms = [x,y]^Tとしたとき、以下の関係がなりたつ。
$m_{p}=Hm_{s}$
ここで
$H=\begin{pmatrix} k_{u} & -k_{u}\cot \theta & u_{0} \\ 0 & \frac{k_{v}}{\sin \theta } & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
最終的に
$P_{new}=HP_{old}=\begin{pmatrix} fk_{u} & -fk_{u}\cot \theta & u_{0} & 0 \\ 0 & \frac{fk_{v}}{\sin \theta } & v_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

正規化カメラの概念

f = 1 のカメラを正規化カメラと呼ぶ
正規化カメラの画像を正規化画像と呼ぶ
正規化画像の座標を正規化画像座標と呼ぶ
fkuとfkvをαu、αvで置き換える。

こうするとPnewは、投射行列Pnを使ってこのように表現できる。
$P_{new}=AP_{N}$
$p_{N}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} \alpha _{u} & -\alpha _{u}\cot \theta & u_{0} \\ 0 & \frac{\alpha _{v}}{\sin \theta } & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$