2章練習問題 - ぱたへね

写真から作る3次元CGの2章練習問題。

問題1

D^-1を求めよ。D^-1はDの逆運動である。

答
Dは剛体変換(rigid transformation)で、回転行列Rと並進行列tを使って以下のように表現できる。Dの定義は投射行列、もしくは2次元変換の階層のClass I Isometries transformations に。

$D=\begin{pmatrix} R & t \\ 0^{T}_{3} & 1 \end{pmatrix}$

逆運動であるD'=D^-1も同じく剛体変換なので同じように表現できる。

$D'=\begin{pmatrix} R' & t' \\ 0^{T}_{3} & 1 \end{pmatrix}$

ここでDD'は何もしない（変換を元に戻す）ので、
$DD'=I$
ここから
$RR'=I$
$Rt'+t=0$

Rは回転行列なので以下の式を満たす。
$RR^{T}=I$

よって、次の2式からD'が求められる。
$R'=R^{T}$
$t'=-R^{T}t$

問題2

θ=π/2、αu=αvの時、A^-1を求めよ。

答
行列Aに問題の条件を代入する。（ただし、αu=αv=α）
$A=\begin{pmatrix} \alpha _{u} & -\alpha _{u}\cot \theta & u_{0} \\ 0 & \frac{\alpha _{v}}{\sin \theta } & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha & 0 & u_{0} \\ 0 & \alpha & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
逆行列は
$A^{-1} = \frac{ 1 }{ \alpha } \begin{pmatrix} 1 & 0 & -u_{0} \\ 0 & 1 & -v_{0} \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$

問題3

Paを任意のアフィン投影行列とするとき、APaDもアフィン投影行列であることを確かめよ。

答
カメラ内部行列A、剛体変換行列Dは、共にアフィン投射行列である。アフィン投射行列の積は、またアフィン投射行列である。

問題4

Mi, i=1, ... n は3次元空間のn点であり、mi, i=1,... nは、それぞれのアフィン投影である。sm~ = PaM~ を照明せよ。m~ は、mi, i=1 ... nの重心であり、M~は、Mi, i=1 ... nの重心である。

答
3次元アフィン変換では、面の平行関係、体積比、重心は不変量。よって、Mの重心のアフィン投影は、mの重心に等しい。ただし、定数倍は等価。

問題5

任意の3x1ベクトルについて以下の式を示せ
$r^{2}_{x}=rr^{T}-r^{T}r$
（左辺はrの外積）

答
左辺の定義がよく分からないので、答え丸写しです。

$r^{2}_{x}=\begin{pmatrix} -r_{3}^{2}-r_{2}^{2} & r_{1}r_{2} & r_{1}r_{3} \\ r_{1}r_{2} & -r_{1}^{2}-r_{3}^{2} & r_{2}r_{3} \\ r_{1}r_{3} & r_{2}r_{3} & -r_{1}^{2}^r_{2}^{2} \end{pmatrix} =rr^{T}-(r^{T}r)$